求概率密度函数(PDF)的方法取决于随机变量的类型:
离散型随机变量
列出随机变量所有可能的取值及其对应的概率。
密度函数是这些概率的函数。
连续型随机变量
密度函数通常是分布函数(CDF)的导数。
对于均匀分布,CDF为 \(F(x) = \frac{x-a}{b-a}\),则PDF为 \(f(x) = \frac{1}{b-a}\),其中 \(a \leq x \leq b\)。
对于正态分布,其PDF公式为 \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\),其中 \(\mu\) 是均值,\(\sigma\) 是标准差。
多维随机变量
使用联合密度函数(JDF)来描述多个随机变量同时取某些值的概率密度。
边缘密度函数可以通过对联合密度函数关于其他变量积分得到。
特殊方法
极大似然估计法:使用样本数据来估计概率密度函数。
微分方程解法:对于具有特定微分方程的分布,可以通过数值方法求解微分方程得到PDF。
请根据随机变量的类型选择合适的方法来求其密度函数