全导数通常指的是多元函数对各个自变量的偏导数,它表示函数值随各个自变量变化的速率。对于二元函数 \( f(x, y) \),其全导数可以通过以下步骤求得:
1. 分别计算函数 \( f \) 对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数,记为 \( f_x \) 和 \( f_y \)。
2. 将偏导数组合起来,得到全导数的表达式:
\[ df = f_x dx + f_y dy \]
其中,\( dx \) 和 \( dy \) 分别表示 \( x \) 和 \( y \) 的微小变化量。
举个例子,如果有一个二元函数 \( z = f(u, v) \),其中 \( u \) 和 \( v \) 是 \( x \) 的函数,即 \( u = u(x) \) 和 \( v = v(x) \),那么 \( z \) 关于 \( x \) 的全导数可以通过链式法则求得:
\[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \]
\[ dz = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{du}{dx} dx + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{dv}{dx} dx \]
\[ dz = f_u du + f_v dv \]
其中,\( du \) 和 \( dv \) 分别表示 \( u \) 和 \( v \) 关于 \( x \) 的微小变化量。
需要注意的是,全微分与全导数是两个不同的概念。全微分描述的是函数值的微小变化量,而全导数描述的是函数值随自变量变化的速率。