数学期望（Expected Value）是概率论中的一个重要概念，用于表示随机变量的平均取值。它的计算方式取决于随机变量是离散的还是连续的。
离散随机变量
对于离散随机变量，数学期望的计算公式是：
\[ E（X） = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i \]
其中：
\（ E（X） \） 表示数学期望；
\（ x_i \） 表示随机变量 \（ X \） 可能取的值；
\（ p_i \） 表示随机变量 \（ X \） 取值 \（ x_i \） 的概率；
\（ n \） 表示随机变量 \（ X \） 可能取值的总数。
连续随机变量
对于连续随机变量，数学期望的计算公式是：
\[ E（X） = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f（x） \ dx \]
其中：
\（ E（X） \） 表示数学期望；
\（ x \） 表示随机变量 \（ X \） 的取值；
\（ f（x） \） 表示随机变量 \（ X \） 的概率密度函数。
例子
假设有一个城市家庭的孩子数目分布如下：
没有孩子的家庭：1000个，概率 \（ p_0 = 0.01 \）；
有一个孩子的家庭：90000个，概率 \（ p_1 = 0.9 \）；
有两个孩子的家庭：6000个，概率 \（ p_2 = 0.06 \）；
有三个孩子的家庭：3000个，概率 \（ p_3 = 0.03 \）。
随机变量 \（ X \） 表示任一家中孩子的数目，其数学期望计算如下：
\[ E（X） = 0 \cdot 0.01 + 1 \cdot 0.9 + 2 \cdot 0.06 + 3 \cdot 0.03 \]
\[ E（X） = 0 + 0.9 + 0.12 + 0.09 \]
\[ E（X） = 1.11 \]
由于人数不能是小数，所以期望值四舍五入为2个孩子。
总结
数学期望是概率加权平均，它将每个可能结果乘以其发生的概率，然后将这些乘积相加得到期望值。对于离散随机变量，使用求和；对于连续随机变量，使用积分