寻找上下界
如果存在两个常数 \（ m \） 和 \（ M \），使得对于所有 \（ x \） 属于函数的定义域 \（ D \），都有 \（ m \leq f（x） \leq M \），则函数 \（ f \） 在 \（ D \） 上有界。
利用极限和连续性
如果函数在某个区间内的极限存在且有限，或者函数在该区间上连续，则该函数在该区间上有界。
利用不等式
如果对于所有 \（ x \） 属于函数的定义域 \（ D \），都存在一个正数 \（ M \），使得 \（ |f（x）| \leq M \），则函数 \（ f \） 在 \（ D \） 上有界。
利用函数的极值
如果函数在定义域内有最大值和最小值，则该函数是有界的。
反证法
假设函数无上界，则对于任意正数 \（ M \），都存在 \（ x' \） 使得 \（ f（x'） > M \）。取足够大的正整数 \（ n \），则有 \（ f（x_n） > n \） 对某些 \（ x_n \） 成立，从而得到一个无界数列，与函数有界矛盾。
利用数学工具
如收敛性、致密性定理等数学工具也可以用来判断函数或序列的有界性。
需要注意的是，有界性是针对函数或序列在某个区间内的性质而言的。如果函数或序列在整个定义域内都无界，则不能认为它在某个特定区间内有界