劳斯表(Routh table)是用于电力系统稳定性分析的一种数学工具,它基于系统的特征方程构建。以下是列出劳斯表的步骤:
特征方程
设线性系统的特征方程为:
$$D(s) = a_0s^n + a_1s^{n-1} + \ldots + a_{n-1}s + a_n = 0$$
其中,$a_0 > 0$,$n$ 是系统的阶数。
构建劳斯表
第一行:奇数项系数(第1, 3, 5, 7, 9项)。
第二行:偶数项系数(第2, 4, 6, 8, 10项)。
后续行:
第$x$行的第$y$个元素由以下公式给出:
$$R_{xy} = \begin{cases}
-1 \cdot \frac{1}{R_{x-1,1}} \cdot \text{det}(R_{x-1,1}, R_{x-2,1}, \ldots, R_{x-1,i+1}) & \text{if } y = 1 \\
-1 \cdot \text{det}(R_{x-1,1}, R_{x-2,1}, \ldots, R_{x-1,i}) & \text{if } y = i+1 \text{ for some } i \geq 1 \\
0 & \text{if } y \neq 1 \text{ and } y \neq i+1 \text{ for any } i \geq 1
\end{cases}$$
其中,$\text{det}$ 表示行列式。
处理特殊情况
如果某一行第一列全为0,可以用上一行的数构造辅助多项式,并对变量求导,得到新的多项式,并用这个多项式代替全为0的那一行。
如果某一行第一列数为0其余全不为0,可以用一个很小的正数$\epsilon$代替0,然后继续列劳斯表。
判断稳定性
如果劳斯表第一列所有系数为正,则系统稳定。
如果第一列有符号变换,变化的次数等于复平面右半平面根的个数,系统不稳定。
请根据上述步骤列出劳斯表,并根据第一列的符号变化判断系统的稳定性。