本原根怎么求

求一个数 \（ n \） 的本原根（也称为原始根或生成元）的方法主要有以下几种：

暴力搜索法

从 2 开始逐个判断数字是否为本原根。

对于给定的模数 \（ n \），本原根 \（ g \） 的取值范围是 \（ [2, n-1] \）。

判断 \（ g \） 的所有幂次 \（ g^i \mod n \） 是否都不等于 1，直到找到第一个满足条件的 \（ g \） 为止。

费马定理

如果 \（ n \） 是一个素数，那么任意一个与 \（ n \） 互质的数 \（ a \），\（ a^{\varphi（n）} \mod n \） 等于 1，其中 \（ \varphi（n） \） 表示小于 \（ n \） 且与 \（ n \） 互质的正整数的个数。

选择一个与 \（ n \） 互质的数 \（ a \），不断计算 \（ a \） 的幂次 \（ a^i \mod n \），直到得到 1 为止，这个幂次即为本原根。

欧拉定理

如果 \（ n \） 是一个素数，那么任意一个与 \（ n \） 互质的数 \（ a \），\（ a^{\varphi（n）/k} \mod n \） 不等于 1，其中 \（ k \） 是 \（ n \） 的所有素因子的乘积。

选择一个与 \（ n \） 互质的数 \（ a \），计算 \（ a \） 的幂次 \（ a^i \mod n \） 的结果，并判断是否等于 1，如果不等于 1，则继续计算 \（ a \） 的幂次 \（ a^i \mod n \），直到得到 1 为止，这个幂次即为本原根。

离散对数问题

对于大素数 \（ p \），求原根是一个复杂的问题，常见的方法是使用 Pollard-Rho 算法。

这是一种随机化的算法，通过不断地构造多项式来尝试找到原根。

具体步骤示例

暴力搜索法

 function g = find_primitive_root（n） for g = 2:n-1 if all（mod（g, i） ~= 1 for i = 1:n-1） disp（g） return end end end ``` 
费马定理
 

function g = find_primitive_root_fermat（n）

phi = floor（n * （1 - 1/n））；

for a = 2:n-1

if gcd（a, n） == 1

if a^phi % n == 1

g = a；

return

end

end

end

end

```

欧拉定理

 function g = find_primitive_root_euler（n） phi = floor（n * （1 - 1/n））； for a = 2:n-1 if gcd（a, n） == 1 for k = 2:phi if a^（phi/k） % n ~= 1 g = a； return end end end end end ``` 
Pollard-Rho 算法
 

function g = pollards_rho（n）

a = 2；

b = 2；

c = a；

d = 1；

x = 1；

y = 1；

d = 1；

while d == 1

x = （x * x + c） % n；

y = （y * y + c） % n；

y = （y * y + c） % n；

d = gcd（abs（x - y）, n）；

if d == n

g = a；

return

end

a = b；

b = （b * b + c） % n；

c = （c * c + d） % n；

end

end

```

建议

选择合适的方法：根据 \（ n \） 的大小选择合适的方法。对于小