留数是在复分析中一个非常重要的概念，用于计算某些复变函数在特定点的极限行为。以下是求留数的基本方法：
孤立奇点处的洛朗级数展开
如果函数 \（ f（z） \） 在孤立奇点 \（ z_0 \） 的某个去心邻域内解析，那么 \（ f（z） \） 可以展开为洛朗级数：
\[ f（z） = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n （z - z_0）^n \]
其中，\（ a_n \） 是复系数，\（ z \neq z_0 \）。
留数 \（ \text{Res}[f（z）, z_0] \） 等于洛朗级数展开中 \（ n = -1 \） 项的系数，即：
\[ \text{Res}[f（z）, z_0] = a_{-1} \]
根据奇点类型简化计算
可去奇点：如果 \（ z_0 \） 是可去奇点，则 \（ f（z） \） 在 \（ z_0 \） 处可以重新定义，使得 \（ f（z） \） 在 \（ z_0 \） 处解析，因此留数为 0。
本性奇点：如果 \（ z_0 \） 是本性奇点，则 \（ f（z） \） 在 \（ z_0 \） 处无法重新定义以解析，留数需要通过洛朗级数展开来计算。
极点：如果 \（ z_0 \） 是 \（ f（z） \） 的极点，留数可以通过以下公式计算：
单极点：如果 \（ z_0 \） 是 \（ f（z） \） 的单极点，且 \（ f（z） \） 在 \（ z_0 \） 处解析，则留数为：
\[ \text{Res}[f（z）, z_0] = \lim_{z \to z_0} （z - z_0） f（z） \]
m阶极点：如果 \（ z_0 \） 是 \（ f（z） \） 的 m 阶极点，则留数为：
\[ \text{Res}[f（z）, z_0] = \frac{1}{（m-1）!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} f（z） \]
其他方法
对于具有 m 阶极点的函数，可以通过将函数表示为：
\[ f（z） = \frac{g（z）}{（z - z_0）^m} \]
其中 \（ g（z） \） 在 \（ z_0 \） 处解析，来计算留数。此时留数为：
\[ \text{Res}[f（z）, z_0] = \frac{g^{（m-1）}（z_0）}{（m-1）!} \]
其中 \（ g^{（m-1）}（z_0） \） 表示 \（ g（z） \） 在 \（ z_0 \） 处的 （m-1） 阶导数。
以上是求留数的基本方法。需要注意的是，留数的计算依赖于函数在奇点附近的行为，因此在实际应用中，首先需要确定函数的奇点类型，然后根据奇点类型选择合适的方法进行计算