施密特正交化是一种将一组线性无关的向量组转化为正交向量组的方法。下面是施密特正交化的基本步骤和公式：
初始向量组 ：设有一组线性无关的向量 \（ \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\} \）。
正交化过程
对于每个 \（ i = 2, 3, \ldots, n \），执行以下步骤：
a. 初始化 \（ \mathbf{u}_i = \mathbf{v}_i \）。
b. 对于每个 \（ j = 1, 2, \ldots, i-1 \），计算 \（ \text{proj}_{\mathbf{u}_j}（\mathbf{v}_i） \），即 \（ \mathbf{v}_i \） 在 \（ \mathbf{u}_j \） 上的投影。
c. 更新 \（ \mathbf{u}_i = \mathbf{v}_i - \text{proj}_{\mathbf{u}_j}（\mathbf{v}_i） \）。
d. 如果 \（ \mathbf{u}_i \） 不是零向量，则单位化 \（ \mathbf{u}_i \），即 \（ \mathbf{u}_i = \frac{\mathbf{u}_i}{\|\mathbf{u}_i\|} \）。
单位化：
将正交化后的向量组中的每个向量进行单位化处理，即 \（ \mathbf{u}_i = \frac{\mathbf{u}_i}{\|\mathbf{u}_i\|} \）。
结果：
得到一组正交向量组 \（ \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_n\} \），这组向量与原向量组等价，并且是正交的。
示例
假设我们有一组向量 \（ \{\mathbf{v}_1 = （1, 1, 1）, \mathbf{v}_2 = （1, 0, 1）\} \），按照施密特正交化的步骤进行计算：
1. \（ \mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1 = （1, 1, 1） \）。
2. 对于 \（ \mathbf{v}_2 \）：
a. \（ \mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 = （1, 0, 1） \）。
b. 计算 \（ \text{proj}_{\mathbf{u}_1}（\mathbf{v}_2） = \frac{（1, 0, 1） \cdot （1, 1, 1）}{（1, 1, 1） \cdot （1, 1, 1）} \times （1, 1, 1） = \frac{3}{3} \times （1, 1, 1） = （1, 1, 1） \）。
c. 更新 \（ \mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \text{proj}_{\mathbf{u}_1}（\mathbf{v}_2） = （1, 0, 1） - （1, 1, 1） = （0, -1, 0） \）。
d. 单位化 \（ \mathbf{u}_2 = \frac{（0, -1, 0）}{\|（0, -1, 0）\|} = （0, -1, 0） \）。
3. 结果：正交向量组 \（ \{（1, 1, 1）, （0, -1, 0）\} \）。
在计算投影时，使用的是向量的内积，即 \（ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \）。
在单位化时，使用的是向量的模长，即 \（ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \）。