全增量是函数在两个点之间的变化量,它表示函数值随着自变量的变化而变化的程度。对于二元函数 \( z = f(x, y) \),在点 \( P(x_0, y_0) \) 处,全增量 \( \Delta z \) 的计算公式为:
\[ \Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) \]
其中,\( \Delta z \) 是函数在点 \( P \) 对应于自变量增量 \( \Delta x \) 和 \( \Delta y \) 的全增量。
需要注意的是,全增量包括了函数的线性主部(即全微分)和非线性部分。如果函数在点 \( P \) 处可微,那么它的全微分 \( dz \) 可以表示为:
\[ dz = \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y \]
其中,\( \frac{\partial f}{\partial x} \) 和 \( \frac{\partial f}{\partial y} \) 分别是函数 \( f \) 对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数。
全微分是当自变量的增量趋近于0时全增量的线性近似,而全增量则包含了高阶无穷小的信息。