二项式定理是数学中的一个重要定理，用于计算形如 \（ （a + b）^n \） 的表达式的值，其中 \（ a \） 和 \（ b \） 是任意实数，\（ n \） 是一个非负整数。根据二项式定理，表达式 \（ （a + b）^n \） 可以展开为一系列项的和，每一项都是 \（ a \） 和 \（ b \） 的幂的乘积，并且每一项的系数是一个特定的数值，称为二项式系数。
下面是二项式定理的基本形式和计算步骤：
确定二项式系数
二项式系数 \（ C（n, k） \） 表示从 \（ n \） 个不同元素中取出 \（ k \） 个元素的组合数，计算公式为：
\[ C（n, k） = \frac{n!}{k!（n - k）!} \]
其中 \（ n! \） 表示 \（ n \） 的阶乘，即 \（ n \times （n - 1） \times （n - 2） \times ... \times 3 \times 2 \times 1 \）
确定各项的次数
在 \（ （a + b）^n \） 的展开式中，第 \（ k + 1 \） 项的一般形式是：
\[ C（n, k） \cdot a^{n - k} \cdot b^k \]
其中 \（ C（n, k） \） 是二项式系数，\（ a^{n - k} \） 是 \（ a \） 的 \（ n - k \） 次幂，\（ b^k \） 是 \（ b \） 的 \（ k \） 次幂。
二项式展开
将上述各项相加，得到 \（ （a + b）^n \） 的展开式：
\[ （a + b）^n = \sum_{k=0}^{n} C（n, k） \cdot a^{n - k} \cdot b^k \]
例如，计算 \（ （x + y）^3 \） 的展开式：
\[ （x + y）^3 = C（3, 0） \cdot x^3 \cdot y^0 + C（3, 1） \cdot x^2 \cdot y^1 + C（3, 2） \cdot x^1 \cdot y^2 + C（3, 3） \cdot x^0 \cdot y^3 \]
\[ = 1 \cdot x^3 \cdot y^0 + 3 \cdot x^2 \cdot y^1 + 3 \cdot x^1 \cdot y^2 + 1 \cdot x^0 \cdot y^3 \]
\[ = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \]
这就是 \（ （x + y）^3 \） 的展开结果