判断一个数列或级数是否收敛，通常有以下几种方法：
极限定义法
对于数列 {a_n}，如果存在一个实数 L 和一个正整数 N，使得当 n > N 时，有 |a_n - L| < ε，则称数列 {a_n} 收敛于 L。
柯西收敛准则
对于任意给定的正数 ε，存在一个正整数 N，使得当 m, n > N 时，有 |a_n - a_m| < ε。
单调有界原理
如果数列 {a_n} 单调递增（或递减）且有上界（或下界），则该数列收敛。
比较判别法
如果存在一个已知收敛（或发散）的级数 {b_n}，使得对所有 n，有 a_n ≤ b_n（或 a_n ≥ b_n），则可以判断 {a_n} 的收敛性。
比式判别法 （适用于正项级数）：
如果存在极限 lim（n→∞） a_（n+1）/a_n = q，当 q < 1 时，正项级数收敛；当 q > 1 或极限不存在时，级数发散。
根式判别法（适用于含 n 次方的级数）：
计算极限 lim（n→∞） √[n] |a_n|，如果该极限小于 1，则级数收敛；如果大于 1，则级数发散；如果等于 1，则需要其他方法判断。
收敛级数的性质
对于级数，如果其一般项的极限为 0，并且满足收敛的必要条件，则可能收敛。对于正项级数，可以使用比较判别法、比式判别法或根式判别法。
特殊情况的判别法
如学习曲线图可以直观显示梯度下降算法的收敛性；自动收敛测试通过定义 ε 来判断成本函数 J 是否减少到足够小的幅度。
以上方法可以帮助我们判断数学中的数列或级数是否收敛。需要注意的是，收敛性的判断可能涉及复杂的数学推导和证明，因此在实际应用中可能需要结合多种方法进行综合判断