定义域检查
确保函数的定义域是有界的，因为周期函数在整个定义域上重复其值。
周期性检验
根据周期函数的定义，如果存在一个非零常数 \（ T \），使得对于定义域内的所有 \（ x \），都有 \（ f（x + T） = f（x） \），则函数是周期函数，且 \（ T \） 是它的一个周期。
反证法证明
假设函数是周期函数，尝试找到一个矛盾，从而证明它实际上不是周期函数。例如，对于函数 \（ f（x） = ax + b \）（其中 \（ a \neq 0 \）），如果它是周期函数，则存在一个非零常数 \（ T \） 使得 \（ f（x + T） = f（x） \）。这会导致 \（ a（x + T） + b = ax + b \），简化后得到 \（ aT = 0 \）。由于 \（ a \neq 0 \），这导致 \（ T = 0 \），与假设 \（ T \neq 0 \） 矛盾。
特殊函数例子
对于三角函数，例如 \（ y = x\cos x \），假设它是周期函数，则存在一个非零常数 \（ T \） 使得 \（ （x + T）\cos（x + T） = x\cos x \）。通过展开和比较，可以发现只有当 \（ T = 0 \） 时这个等式才成立，因此 \（ y = x\cos x \） 不是周期函数。
周期性质
如果 \（ T \） 是函数的一个周期，那么 \（ -T \）、\（ nT \）（其中 \（ n \） 是任意非零整数）也是周期。
如果函数有最小正周期 \（ T^* \），则任何正周期 \（ T \） 必须是 \（ T^* \） 的正整数倍。
如果两个不同的周期 \（ T_1 \） 和 \（ T_2 \） 的比值是无理数，则函数不存在最小正周期。
定义域特性
周期函数的定义域通常是至少一方无界的集合。
通过以上步骤，你可以判断一个给定的函数是否是周期函数。