零点定理的证明可以通过构造辅助函数和闭区间套定理来进行。以下是零点定理的证明步骤：
构造辅助函数
令 \（ g（x） = f（x） - C \），其中 \（ C \） 是 \（ A \） 和 \（ B \） 之间的任意实数。则 \（ g（x） \） 在闭区间 \（[a, b]\） 上连续。
应用介值定理
不妨设 \（ A < 0 \） 且 \（ B > 0 \），则 \（ g（a） = f（a） - C < 0 \） 且 \（ g（b） = f（b） - C > 0 \）。由于 \（ g（x） \） 在 \（[a, b]\） 上连续，根据介值定理，存在至少一点 \（\xi \in （a, b）\） 使得 \（ g（\xi） = 0 \）。
得出结论
由 \（ g（\xi） = 0 \） 可知 \（ f（\xi） = C \）。因为 \（\xi \in （a, b）\） 所以 \（ f（\xi） \） 就是 \（[a, b]\） 内的零点。
以上步骤证明了零点定理，即在闭区间 \（[a, b]\） 上连续的函数 \（ f（x） \），如果 \（ f（a） \） 和 \（ f（b） \） 异号，则存在至少一点 \（\xi \in （a, b）\） 使得 \（ f（\xi） = 0\）。
---