佐助的万花筒写轮眼是在以下情况下开启的：
受到强烈刺激：
佐助的万花筒写轮眼是在他哥哥宇智波鼬死亡后受到强烈刺激而开启的。在兄弟二人的生死之战中，当鼬倒下后，佐助的写轮眼被激发并进化为万花筒。
至亲之人的死亡：
万花筒写轮眼的开启需要类似至亲之人的死亡这样的强烈刺激。佐助在杀死哥哥鼬后，得知了鼬的真相，这种强烈的情感刺激促使他的写轮眼进化为万花筒。
查克拉和查克拉控制：
在佐助与鼬的战斗中，鼬将瞳力传给了佐助，这种查克拉的传递和佐助自身查克拉的控制也起到了关键作用。
情感和真相的觉醒：
佐助在了解到鼬的真相后，他的情感和查克拉产生了变化，这种变化进一步激发了他的万花筒写轮眼。
综上所述，佐助的万花筒写轮眼是在他哥哥宇智波鼬死亡后，受到强烈刺激和情感觉醒的情况下开启的。这种开启不仅需要强烈的情感刺激，还需要查克拉的控制和传递。