证明极限存在的方法有多种，以下是一些常用的方法：
夹逼定理
如果存在函数 \（ f（x） \），\（ g（x） \），\（ h（x） \） 满足 \（ g（x） \leq f（x） \leq h（x） \），且 \（ \lim_{x \to a} g（x） = \lim_{x \to a} h（x） = L \），则 \（ \lim_{x \to a} f（x） = L \）。
单调有界定理
如果一个数列是单调递增（或递减）且有上界（或下界），则该数列必有极限。
极限的定义
对于一个数列 \（ \{a_n\} \），如果存在一个实数 \（ L \），对于任意给定的正数 \（ \epsilon \），都存在正整数 \（ N \），使得当 \（ n > N \） 时，\（ |a_n - L| < \epsilon \） 成立，则数列 \（ \{a_n\} \） 的极限存在，且极限值为 \（ L \）。
极限存在的充要条件
极限存在的充分必要条件是左右极限都存在且相等。
其他方法
利用已知极限来证明某些数列或函数的极限。
利用函数的连续性、局部性质、分子有理化法等方法。
对于函数极限，还可以使用导数的定义来证明极限的存在。
在证明过程中，需要注意选择合适的方法，并严格按照数学逻辑进行严密的推导和证明。