基础解系是线性代数中齐次线性方程组解集的一个极大线性无关组，它由线性无关的解向量组成，可以表示方程组的所有解。以下是求基础解系的基本步骤：
确定自由未知量
对系数矩阵进行初等行变换，化为阶梯形矩阵。
阶梯形矩阵的非零行数即为矩阵的秩（记作`r`）。
未知数个数`n`减去秩`r`，得到自由未知量的个数。
构建同解方程组
将阶梯形矩阵转化为同解方程组形式。
对于每个自由未知量，令其取值为1，其余未知数取值为0，得到方程组的一组解。
求解基础解系
将取值后的自由未知量代入同解方程组，得到基础解系。
如果自由未知数有多个，需要分别取值并求解，得到所有线性无关的解向量。
验证解向量线性无关
确保所求得的解向量线性无关，构成基础解系。
示例
假设有一个齐次线性方程组，其系数矩阵为：
```
A = [
[2, 1, -1],
[4, 3, -2],
[6, 5, -3]
]
对矩阵`A`进行初等行变换，化为阶梯形矩阵：```[
[1, 0, -1],
[0, 1, 1],
[0, 0, 0]
]
这里，矩阵的秩`r（A）=2`，未知数个数`n=3`，所以自由未知量个数为`n-r=1`。
令自由未知量`x3=1`，其余未知数取值为0，得到方程组的一组解：
```
x1 = 1,
x2 = -1,
x3 = 1
因此，基础解系包含一个解向量：`[1, -1, 1]`。