动态规划(Dynamic Programming,简称DP)是一种在算法设计中使用的优化技术,主要用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。这种方法通过将问题分解为更小的子问题,并存储这些子问题的解(通常使用一个表格或矩阵),以避免重复计算,从而提高效率。
核心概念
最优子结构:问题的最优解可以通过其构成子问题的最优解来推导。
重叠子问题:在求解原问题的过程中,相同的子问题会被多次计算。
工作原理
动态规划通过以下步骤工作:
定义状态:
确定问题的子问题,并定义表示这些子问题解的状态变量。
状态转移方程:
建立状态变量之间的关系,表达当前状态如何由之前的状态推导出来。
自底向上求解:
从最小的子问题开始,逐步构建出原问题的解。
应用场景
动态规划常用于求解最优化问题,如:

最长递增子序列
最小编辑距离
背包问题
优势
时间复杂度低:通过存储子问题的解,动态规划可以将指数级别的时间复杂度降低到多项式级别。
空间复杂度增加:为了存储子问题的解,动态规划可能会使用额外的空间,有时也被称为“带备忘录的递归”。
示例
以寻找数组中最长递增子序列的长度为例,动态规划算法会维护一个数组`memo`来存储已经计算过的子问题的解,避免重复计算。
```python
def L(nums, i):
if i == 0:
return 1
if nums[i] in memo:
return memo[nums[i]]
memo[nums[i]] = 1 + max(L(nums, j) for j in range(i) if nums[j] < nums[i])
return memo[nums[i]]
在这个例子中,`L`函数计算从数组`nums`的第`i`个元素开始的最长递增子序列的长度,`memo`字典用于存储已经计算过的结果。动态规划是解决复杂优化问题的一种强大工具,在计算机科学和运筹学领域有着广泛的应用
